A Review of Recent Advances in Discretization Methods, a Posteriori Error Analysis, and Adaptive Algorithms for Numerical Modeling in Geosciences

Une revue des avancées récentes autour des méthodes de discrétisation, de l’analyse a posteriori, et de algorithmes adaptifs pour la modélisation numérique en géosciences

¹ Université de Montpellier 2, I3M, 34057 Montpellier Cedex 5 – France
² INRIA Paris-Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay – France
e-mail: daniele.di-pietro@univ-montp2.fr – martin.vohralik@inria.fr

^* Corresponding author

Abstract

Two research subjects in geosciences which lately underwent significant progress are treated in this review. In the first part, we focus on one key ingredient for the numerical approximation of the Darcy flow problem, namely the discretization of diffusion terms on general polygonal/polyhedral meshes. We present different schemes and discuss in detail their fundamental numerical properties such as stability, consistency, and robustness. The second part of the paper is devoted to error control and adaptivity for model problems in geosciences. We present the available a posteriori estimates guaranteeing the maximal overall error and show how the different error components can be identified. These estimates are used to formulate adaptive stopping criteria for linear and nonlinear solvers, time step choice adjustment, and adaptive mesh refinement. Numerical experiments illustrate such entirely adaptive algorithms.

Résumé

Cet article de revue traite de deux thématiques de recherche en géosciences qui ont connu d’importants développements au cours des dernières années. Dans la première partie, on considère un ingrédient clé pour la résolution numérique du problème d’écoulement de Darcy, à savoir les schémas de discrétisation des termes de diffusion sur des maillages polygonaux/polyédriques généraux. On présente différents schémas et on discute en détail de leurs propriétés numériques fondamentales telles que la stabilité, la consistance et la robustesse. La deuxième partie de l’article est consacrée au contrôle de l’erreur et à l’adaptivité pour des problèmes modèles en géosciences. On présente des estimations a posteriori qui garantissent une borne supérieure de l’erreur totale et qui permettent d’identifier les différentes composantes d’erreur. Ces estimations sont utilisées pour formuler des critères d’arrêt adap- tatifs pour des solveurs linéaires et non linéaires ainsi que pour ajuster le pas de temps et pour raffiner le maillage de fagon adaptative. Des essais numériques illustrent le caractère entièrement adaptatif de tels algorithmes.