Stress-Induced Seismic Anisotropy Revisited

Nouveau regard sur l'anisotropie sismique induite par les contraintes

Institut Français du Pétrole

Abstract

This summary contains formulas (***) which can not be displayed on the screenA general principle outlined by P. Curie (1894) regarding the influence of symmetry in physical phenomena states, in modern language, that the symmetry group of the causes is a sub-group of the symmetry group of the effects. For instance, regarding stress-induced seismic anisotropy, the most complex symmetry exhibited by an initially isotropic medium when tri-axially stressed is orthorhombic, or orthotropic, symmetry characterized by three symmetry planes mutually perpendicular (Nur, 1971). In other respects, Schwartz et al. (1994) demonstrated that two very different rock models, namely a cracked model and a weakly consolidated granular model, always lead to elliptical anisotropy when uniaxially stressed. The addressed questions are : Is this result true for any rock model? and more generally : Do initially isotropic rock form a well-defined sub-set of orthorhombic media when triaxially stressed?Under the hypothesis of 3rd order nonlinear isotropic hyperelasticity (i. e. , no hysteresis and existence of an elastic energy function developed to the 3rd order in the strain components) it is demonstrated that the qP-wave stress-induced anisotropy is always ellipsoidal, for any strength of anisotropy. For instance point sources generate ellipsoidal qP-wave fronts. This result is general and absolutely independent of the rock model, that is to say independent of the causes of nonlinearity, as far as the initial assumptions are verified. This constitutes the main result of this paper. Thurston (1965) pointed out that an initially isotropic elastic medium, when non-isotropically pre-stressed, is never strictly equivalent to an unstressed anisotropic crystal. For instance the components of the stressed elastic tensor lack the familiar symmetry with respect to indices permutation. This would prohibit Voigt's notation of contracted indices. However if the magnitude of the components of the stress deviator is small compared to the wave moduli, which is always verified in practical situations of seismic exploration, the perfect equivalence is re-established. Under this condition, the 9 elastic stiffnesses C'ij (in contracted notation) of an initially isotropic solid, when triaxially stressed, are always linked by 3 ellipticity conditions in the coordinate planes associated with the eigen directions of the static pre-stress, namely :(***)Thus only 6 of the 9 elastic stiffnesses of the orthorhombic stressed solid are independent (Nikitin and Chesnokov, 1981), and are simple functions of the eigen stresses, and of the 2 linear (2nd order) and the 3 nonlinear (3rd order) elastic constants of the unstressed isotropic solid. Furthermore, given the state of pre-stress, the strength of the stress-induced P- or S-wave anisotropy and S-wave birefringence (but not the magnitude of the wave moduli themselves) are determined by only 2 intrinsic parameters of the medium, one for the P-wave and one for the S-waves. Isotropic elastic media, when triaxially stressed, constitute a special sub-set of orthorhombic media, here called ellipsoidal media , verifying the above conditions. Ellipsoidal anisotropy is the natural generalization of elliptical anisotropy. Ellipsoidal anisotropy is to orthorhombic symmetry what elliptical anisotropy is to transversely isotropic (TI) symmetry. Elliptical anisotropy is a special case of ellipsoidal anisotropy restricted to TI media. In other words, ellipsoidal anisotropy degenerates in elliptical anisotropy in TI media. In ellipsoidal media the qP-wave slowness surface is always an ellipsoid. The S-wave slowness surfaces are not ellipsoidal, except in the degenerate elliptical case, and have to be considered as a single double-valued self-intersecting sheet (Helbig, 1994). The intersections of these latter surfaces with the coordinate planes are either ellipses, for the S-vave polarized out of the coordinate planes, or circles, for the qS-wave polarized in the coordinate planes. The nearly exhaustive collection of experimental data on seismic anisotropy in rocks (considered as transverse isotropic) by Thomsen (1986) show that elliptical anisotropy is more an exception than a rule. Since stress-induced anisotropy is essentially elliptical when restricted to transversely isotropic media, as a consequence this work clearly shows that stress can be practically excluded as a unique direct cause of elastic anisotropy in rocks.

Résumé

Ce résumé contient des formules (***) qui ne peuvent s'afficher à l'écran Un principe général esquissé par P. Curie (1894) concernant l'influence de la symétrie sur les phénomènes physiques dit, en langage actuel, que le groupe de symétrie des causes est un sous-groupe du groupe de symétrie des effets. Par exemple, en ce qui concerne l'anisotropie sismique induite par les contraintes, la symétrie la plus complexe présentée par un milieu initialement isotrope, sous contrainte triaxiale, est orthorhombique ou orthotrope, caractérisée par trois plans de symétrie orthogonaux deux à deux (Nur, 1971). À d'autres égards, Schwartz et al. (1994) ont montré que deux modèles de roches très différents, un modèle fissuré et un modèle granulaire faiblement consolidé, conduisent toujours à une anisotropie elliptique quand ils sont soumis à une contrainte uniaxiale. La question posée est la suivante : est-ce que ce résultat est vrai pour tous les modèles de roches ? et, plus généralement, est-ce que les roches initialement isotropes, quand elles sont soumises à une contrainte triaxiale, forment un sous-ensemble bien défini des milieux orthorhombiques ? Sous l'hypothèse d'hyperélasticité isotrope non linéaire du troisième ordre (c'est-à-dire absence d'hystérésis, et existence d'une fonction d'énergie élastique développée au troisième ordre dans les composantes de la déformation), il est démontré que l'anisotropie de l'onde qP induite par les contraintes est toujours ellipsoïdale, pour tout degré d'anisotropie. Par exemple, les sources ponctuelles engendrent des fronts d'onde qP de forme ellipsoodale. Ce résultat est général et est absolument indépendant du modèle de roche, c'est-à-dire indépendant des causes de la non-linéarité, pour autant que les hypothèses de départ soient vérifiées. Ceci constitue le principal résultat de cet article. Thurston (1965) a remarqué, vis-à-vis des propriétés élastiques, qu'un milieu élastique initialement isotrope, quand il est soumis à des contraintes non isotropes, n'est jamais tout à fait équivalent à un cristal anisotrope non soumis à des contraintes. Par exemple, les composantes du tenseur d'élasticité du milieu sous contrainte ne présentent pas la symétrie habituelle vis-à-vis de la permutation des indices. Ceci interdit l'emploi de la notation de Voigt sur les indices contractés. Toutefois, si l'amplitude des composantes du déviateur de contrainte est petite par rapport aux modules d'onde, ce qui est toujours vérifié sur le terrain en exploration sismique, l'équivalence parfaite est rétablie. Sous cette condition, les 9 rigidités élastiques C'ij (en notation contractée) d'un solide initialement isotrope, soumis à une contrainte triaxiale, sont toujours liées par les 3 conditions ci-après d'ellipticité dans les plans de coordonnées associés aux directions propres de la précontrainte statique. (***) Ainsi, seulement 6 des 9 rigidités élastiques du solide contraint orthorhombique sont indépendantes (Nikitin et Chesnokov, 1981), et sont des fonctions simples des contraintes principales, des 2 constantes élastiques linéaires (du deuxième ordre) et des 3 constantes non linéaires (du troisième ordre) du solide isotrope non soumis à contrainte. De plus, à partir d'un état de pré-contrainte, le degré d'anisotropie de l'onde P ou S induite par la contrainte et la biréfringence de l'onde S (mais pas l'amplitude des modules d'onde eux-mêmes) sont déterminés par seulement 2 paramètres intrinséques du milieu, un pour l'onde P et un pour les ondes S. Les milieux élastiques isotropes soumis à une contrainte triaxiale constituent un sous-ensemble particulier des milieux orthorhombiques, appelés ici milieux ellipsoïdaux , vérifiant les conditions énoncées ci-dessus. L'anisotropie ellipsoïdale est une généralisation naturelle de l'anisotropie elliptique. L'anisotropie ellipsoïdale est pour la symétrie orthorhombique ce qu'est l'anisotropie elliptique pour la symétrie transverse isotrope (TI). L'anisotropie elliptique est un cas particulier de l'anisotropie ellipsoïdale limitée aux milieux TI. En d'autres termes, l'anisotropie ellipsoïdale dégénère en une anisotropie elliptique dans les milieux TI. Dans les milieux ellipsoïdaux, la surface de lenteur de l'onde qP est toujours une ellipsoïde. Par contre, les surfaces de lenteur des ondes S ne sont pas ellipsoïdales, sauf dans le cas elliptique dégénéré, et doivent être considérées comme une surface unique entrecroisée et à valeur double (Helbig, 1994). Les intersections de ces surfaces avec les plans de coordonnées sont soit des ellipses, dans le cas où l'onde S est polarisée en dehors des plans coordonnés, soit des cercles, dans le cas où l'onde qS est polarisée dans le plan de coordonnées. Le recueil très détaillé établi par Thomsen (1986) de données expérimentales sur l'anisotropie sismique des roches (considérées comme transversalement isotropes) montre que l'anisotropie elliptique constitue plus une exception qu'une règle. Étant donné que l'anisotropie induite par les contraintes est essentiellement elliptique quand elle est limitée aux milieux transversalement isotropes, cette étude montre donc clairement que la contrainte peut être pratiquement exclue en tant que cause directe unique de l'anisotropie élastique dans les roches.