A Unified Model for Slug Flow Generation

Modélisation de la formation des bouchons : vers un modèle stochastique unifié

¹ TOTAL
² Université Paris VI

Abstract

In order to improve the global safety and reliability level of multi-phase production systems and to guarantee their economical efficiency, we need a better understanding and control of hydraulic instabilities observed at the outlet of multi-phase sea-lines. This may be obtained through the development of slug flow stochastic models, which must be able to explain:(a) The generation of the various types of slug length distributions which are observed on experimental data sets. (b) The evolution of these distributions along the sea-lines up to their outlets, where large hydraulic fluctuations may be dangerous for the treatment installations. Based on experimental as well as theoretical arguments, we present such a model with emphasis on slug generation. We give a detailed theoretical analysis, together with a discussion of the underlying assumptions which justify the introduction of this model.

Résumé

Ce résumé contient des formules (***) qui ne peuvent s'afficher à l'écran. Pour garantir à la fois la sûreté de fonctionnement et la rentabilité des systèmes de production avec transport polyphasique, il est nécessaire de mieux comprendre et maîtriser les phénomènes d'instabilité hydraulique dans les conduites polyphasiques. Ceci suppose la mise au point et l'utilisation de Modèles de Simulation des écoulements portant, non seulement sur l'évolution dans le temps et en tout point de la conduite des valeurs moyennes des diverses variables (cf. le modèle TACITE), mais aussi sur leurs aspects stochastiques en prenant spécialement en compte : - les lois statistiques propres des divers mécanismes fondamentaux de formation des bouchons (distribution des longueurs de bouchons de liquide et de poches de gaz); - l'évolution de ces lois statistiques dans le temps et tout le long de la conduite (et ceci, jusqu'à son extrémité, extrémité dont les caractéristiques intéressent tout spécialement l'opérateur de la conduite). Nous présenterons ici essentiellement les lois de formation, l'évolution des bouchons faisant encore l'objet de travaux théoriques et de campagnes de tests effectués à l'Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, dans le cadre du Projet EVE associant Institut Français du Pétrole (IFP), Elf et Total. Notations utilisées : Les modèles mathématiques proposés sont basés sur: - Une identification des bouchons à partir de leur moment et de leur lieu d'apparition; pour le bouchon : Tn, Xn. - Le suivi dans le temps de la position du talon du n-ième bouchon à l'instant t: Yn (t) et de sa longueur : Delta indice (n) (t). - L'hypothèse d'un temps de coalescence Sn très important; tous les bouchons formés continuent d'exister (Delta indice (n) (t) > 0) au temps t : Tn < t < Sn; on exclut ici toute possibilité de coalescence dans la zone de formation des bouchons. - L'utilisation de processus de Poisson tenant compte de diverses hypothèses simplificatrices permettant d'approcher les différents mécanismes de formation de bouchons : -zones autorisées et interdites pour la formation des bouchons successifs; -vitesses de déplacement du talon des bouchons (avec ou sans phase d'accélération initiale); -influence de l'importance du glissement entre phases; -influence de la position de la zone de formation de bouchons par rapport à l'entrée de la conduite. . . 1 Modèle Bernicot-Drouffe Partant du modèle Bernicot-Drouffe présenté initialement à l'OTC de Houston en 1988 [4], nous commençons par en établir une justification mathématique rigoureuse après en avoir rappelé les hypothèses de base. Ces hypothèses qui sont strictement valables pour des écoulements en conduites horizontales et à proximité de l'entrée de la conduite (fig. 2), supposent essentiellement : - Un faible glissement entre phases et donc des vitesses de bouchons assimilables à des constantes pendant la phase de formation (la phase d'accélération initiale étant ignorée) : (***) - Aucune formation de bouchon devant le dernier bouchon formé (fig. 6): Processus de poisson (H. 0) et (H. 1) - Une loi de probabilité de formation de bouchons invariante dans l'espace et dans le temps: P (x,t) = alpha (P. 1) Avec ces hypothèses, nous démontrons: - Le théorème 2. 1 sur la convergence de la distribution des points d'apparition du bouchon Xn vers une distribution demi-normale. - Le corollaire 2. 1 sur les intervalles de temps entre deux apparitions de bouchons successifs: (T indice (n+1) - Tn) qui forment une suite de variables aléatoires dont la loi est donnée. Pour aborder la loi de distribution des longueurs de bouchons: Delta indice (n), nous effectuons deux hypothèses supplémentaires qui sont des approximations valables uniquement au voisinage du point de formation du bouchon et dans le cas où le glissement entre phases reste faible : - Le volume du n-ième bouchon est égal à: (longueur du bouchon Delta n) x (Section de la conduite) (S. 0) - Le volume du n-ième bouchon est égal au liquide disponible dans la conduite au temps de formation Tn en aval du point de formation Xn; c'est-à-dire correspond au plateau existant entre Xn et l'arrière du bouchon précédent : Y indice (n- 1) (Tn) Avec ces nouvelles hypothèses nous établissons le corollaire 2. 2 sur la convergence de la distribution des longueurs de bouchons : Delta n vers une loi limite. Les lois obtenues : demi-Gaussiennes ou Gaussiennes tronquées ont effectivement été observées sur boucles de test, à proximité de l'entrée des boucles. 2 Modèle unifié Nous généralisons ensuite le modèle en étendant les hypothèses de base et en particulier en tenant compte de façon plus réaliste des glissements entre phases qui peuvent devenir importants. Pour obtenir des lois plus générales, nous remplaçons l'hypothèse (V. 1) vitesse constante par de nouvelles hypothèses: - La vitesse du culot du n-ième bouchon à l'instant t ne dépend du temps qu'en tant que fonction de la position du bouchon dans la conduite: v(t) = V(Y(t)) (V. 1)' - Il existe une fonction Psi(x) avec une dérivée continue telle que : (***) Nous remplaçons aussi l'hypothèse (P. 1) par l'hypothèse plus générale (P. 2) : la probabilité de formation du n-ième bouchon à l'instant t est fonction uniquement de la position du bouchon dans la conduite: p(x,t) = alpha(x) (P. 2) En plus des hypothèses (V. 1) et (P. 2) nous supposons l'existence d'une même distribution limite pour Xn et X indice (n+1) (P. 3) et (P. 4) Avec ces diverses hypothèses, nous démontrons : - Le théorème 2. 3 sur la convergence de la distribution des points d'apparition de bouchons Xn; - le corollaire 2. 3 sur la distribution limite des longueurs de bouchons : Delta indice n. 2. 1 Conditions stationnaires Dans le cas de conditions stationnaires (caractéristiques de l'écoulement à l'entrée de la conduite indépendantes du temps), nous démontrons le théorème 2. 4 : - Les points d'apparition du bouchon Xn deviennent une chaîne de Markov. - Les longueurs de bouchons Delta indice n deviennent une suite de variables aléatoires indépendantes présentant une loi de distribution exponentielle. Cette loi est en accord avec les observations effectuées sur boucles de test. 2. 2 Conditions transitoires Dans le cas de conditions transitoires (caractéristiques de l'écoulement à l'entrée de la conduite variables dans le temps), il est à noter que des augmentations rapides de débits d'entrée et/ou de sortie de conduite peuvent donner lieu à la formation de bouchons de grandes dimensions dont la distribution des longueurs relève de lois de distribution totalement différentes : les lois de Pareto; étant étudiées par ailleurs, ces lois ne sont pas abordées ici. 3 Formation de bouchons en points bas Nous vérifions enfin la validité du modèle unifié en l'appliquant à la formation de bouchons des points singuliers de la conduite: les points bas. Les lois obtenues avec de nouvelles hypothèses correspondant à la formation des bouchons en un point imposé sur la conduite sont bien en accord avec les familles de lois de distribution Gaussiennes Inverses déjà proposées [7]. Conclusions Nous commençons à avoir une meilleure connaissance des diverses lois de formation de bouchons dans les conduites diphasiques horizontales: lois Demi-Gaussiennes, Exponentielles, Gaussiennes Inverses, de Paréto. . . Nous savons aussi que des lois Gaussiennes Inverses sont systématiquement observées en sortie de conduites; ces lois peuvent d'ailleurs éventuellement se combiner pour devenir bi-modales lorsque deux types de formation de bouchons se superposent dans la conduite. Par contre, malgré la mise au point de certains modèles spécifiques, notre connaissance des lois d'évolution des bouchons tout le long de la conduite laisse encore à désirer. De façon à pouvoir intégrer dans nos modèles d'écoulement tels que TACITE une partie stochastique pour les écoulements à bouchons, il convient donc de poursuivre les recherches fondamentales sur ces lois d'évolution dans les conduites de transport : ces travaux qui sont actuellement en cours à l'Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse comportent des mesures de haute précision sur une boucle de test à l'instrumentation complètement renouvelée et améliorée. Au niveau de l'intégration pratique du résultat de ces travaux, il se trouve que l'évolution des valeurs moyennes des variables principales de l'écoulement est déjà très correctement simulée par le modèle TACITE développé par l'Institut Français du Pétrole. Grâce à la souplesse du modèle TACITE, l'aspect stochastique de ces variables devrait pouvoir être intégré naturellement et facilement dans des conditions de coûts et de délais très raisonnables.